2.7 数学优化:找到函数的最优解

In [2]:

%matplotlib inline
import numpy as np

作者: Gaël Varoquaux

数学优化处理寻找一个函数的最小值(最大值或零)的问题。在这种情况下,这个函数被称为成本函数,或目标函数,或能量

这里,我们感兴趣的是使用scipy.optimize来进行黑盒优化: 我们不依赖于我们优化的函数的算术表达式。注意这个表达式通常可以用于高效的、非黑盒优化。

先决条件

  • Numpy, Scipy
  • matplotlib

也可以看一下: 参考

数学优化是非常 ... 数学的。如果你需要性能,那么很有必要读一下这些书:

章节内容

  • 了解你的问题
    • 凸优化 VS 非凸优化
    • 平滑问题和非平滑问题
    • 嘈杂VS精确的成本函数
    • 限制
  • 不同最优化方法的回顾
    • 入门: 一维最优化
    • 基于梯度的方法
    • 牛顿和拟牛顿法
    • 较少梯度方法
    • 全局优化
  • 使用scipy优化的操作指南
    • 选择一个方法
    • 让你的优化器更快
    • 计算梯度
    • 虚拟练习
  • 特殊情境: 非线性最小二乘
    • 最小化向量函数的范数
    • 曲线拟合
  • 有限制的最优化
    • 箱边界
    • 通用限制

2.7.1 了解你的问题

每个问题都是不相同。了解你的问题使你可以选择正确的工具。

问题的维数

优化问题的规模非常好的由问题的维数来决定,即,进行搜索的标量变量的数量。

2.7.1.1 凸优化 VS 非凸优化

凸函数:

  • $f$ 在它的所有切线之上。
  • 相应的, 对于两个点point A, B, f(C) 在线段[f(A), f(B])]之下, 如果 A < C < B

非凸函数

最优化凸函数简单。最优化非凸函数可能非常困难。

注意: 可以证明对于一个凸函数局部最小值也是全局最小值。然后,从某种意义上说,最小值是惟一的。

2.7.1.2 平滑和非平滑问题

平滑函数:

梯度无处不在,是一个连续函数

非平滑函数:

优化平滑函数更简单一些 (在黑盒最优化的前提是对的,此外线性编程是一个非常高效处理分段线性函数的例子)。

2.7.1.3 嘈杂 VS 精确成本函数

有噪音 (blue) 和无噪音 (green) 函数

噪音梯度

许多优化方法都依赖于目标函数的梯度。如果没有给出梯度函数,会从数值上计算他们,会产生误差。在这种情况下,即使目标函数没有噪音,基于梯度的最优化也可能是噪音最优化。

2.7.1.4 限制

基于限制的最优化

这里是:

$-1 < x_1 < 1$

$-1 < x_2 < 1$

2.7.2 不同最优化方法的回顾

2.7.2.1 入门: 一维最优化

使用scipy.optimize.brent() 来最小化一维函数。它混合抛物线近似与区间策略。

二元函数的Brent方法: 在3次迭代后收敛, 因为,稍后二元近似精确了。

非凸函数的Brent方法: 注意最优化方法避免了局部最小值其实是因为运气。

In [4]:

from scipy import optimize
def f(x):
    return -np.exp(-(x - .7)**2)
x_min = optimize.brent(f)  # 实际上在9次迭代后收敛!
x_min

Out[4]:

0.6999999997839409

In [4]:

x_min - .7

Out[4]:

-2.160590595323697e-10

注意: Brent方法也可以用于限制区间最优化使用scipy.optimize.fminbound()

注意: 在scipy 0.11中, scipy.optimize.minimize_scalar() 给出了一个一维标量最优化的通用接口。

2.7.2.2 基于梯度的方法

2.7.2.2.1 关于梯度下降的一些直觉

这里我们关注直觉,不是代码。代码在后面。

从根本上说,梯度下降在于在梯度方向上前进小步,即最陡峭梯度的方向。

固定步数梯度下降

状况良好的二元函数。

状况糟糕的二元函数。

状况糟糕问题的梯度下降算法的核心问题是梯度并不会指向最低点。

我们可以看到非常各向异性 (状况糟糕) 函数非常难优化。

带回家的信息: 条件数和预条件化

如果你知道变量的自然刻度,预刻度他们以便他们的行为相似。这与预条件化相关。

并且,很明显采用大步幅是有优势的。这在梯度下降代码中使用直线搜索

适应步数梯度下降

状况良好的二元函数。

状况糟糕的二元函数。

状况糟糕的非二元函数。

状况糟糕的极端非二元函数。

函数看起来越像二元函数 (椭圆半圆边框线), 最优化越简单。

2.7.2.2.2 共轭梯度下降

上面的梯度下降算法是玩具不会被用于真实的问题。

正如从上面例子中看到的,简单梯度下降算法的一个问题是,它试着摇摆穿越峡谷,每次跟随梯度的方法,以便穿越峡谷。共轭梯度通过添加摩擦力项来解决这个问题: 每一步依赖于前两个值的梯度然后急转弯减少了。

共轭梯度下降

状况糟糕的非二元函数。

状况糟糕的极端非二元函数。

在scipy中基于共轭梯度下降方法名称带有‘cg’。最小化函数的简单共轭梯度下降方法是scipy.optimize.fmin_cg():

In [5]:

def f(x):   # The rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
optimize.fmin_cg(f, [2, 2])
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 13
         Function evaluations: 120
         Gradient evaluations: 30

Out[5]:

array([ 0.99998968,  0.99997855])

这些方法需要函数的梯度。方法可以计算梯度,但是如果传递了梯度性能将更好:

In [6]:

def fprime(x):
    return np.array((-2*.5*(1 - x[0]) - 4*x[0]*(x[1] - x[0]**2), 2*(x[1] - x[0]**2)))
optimize.fmin_cg(f, [2, 2], fprime=fprime)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 13
         Function evaluations: 30
         Gradient evaluations: 30

Out[6]:

array([ 0.99999199,  0.99998336])

注意函数只会评估30次,相对的没有梯度是120次。

2.7.2.3 牛顿和拟牛顿法

2.7.2.3.1 牛顿法: 使用Hessian (二阶微分))

牛顿法使用局部二元近似来计算跳跃的方向。为了这个目的,他们依赖于函数的前两个导数梯度Hessian

状况糟糕的二元函数:

注意,因为二元近似是精确的,牛顿法是非常快的。

状况糟糕的非二元函数:

这里我们最优化高斯分布,通常在它的二元近似的下面。因此,牛顿法超调量并且导致震荡。

状况糟糕的极端非二元函数:

在scipy中, 最优化的牛顿法在scipy.optimize.fmin_ncg()实现 (cg这里是指一个内部操作的事实,Hessian翻转, 使用共轭梯度来进行)。scipy.optimize.fmin_tnc() 可以被用于限制问题,尽管没有那么多用途:

In [7]:

def f(x):   # rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
def fprime(x):
    return np.array((-2*.5*(1 - x[0]) - 4*x[0]*(x[1] - x[0]**2), 2*(x[1] - x[0]**2)))
optimize.fmin_ncg(f, [2, 2], fprime=fprime)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 9
         Function evaluations: 11
         Gradient evaluations: 51
         Hessian evaluations: 0

Out[7]:

array([ 1.,  1.])

注意与共轭梯度(上面的)相比,牛顿法需要较少的函数评估,更多的梯度评估,因为它使用它近似Hessian。让我们计算Hessian并将它传给算法:

In [7]:

def hessian(x): # Computed with sympy
    return np.array(((1 - 4*x[1] + 12*x[0]**2, -4*x[0]), (-4*x[0], 2)))
optimize.fmin_ncg(f, [2, 2], fprime=fprime, fhess=hessian)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 9
         Function evaluations: 11
         Gradient evaluations: 19
         Hessian evaluations: 9

Out[7]:

array([ 1.,  1.])

注意:在超高维,Hessian的翻转代价高昂并且不稳定 (大规模 > 250)。

注意:牛顿最优化算法不应该与基于相同原理的牛顿根发现法相混淆,scipy.optimize.newton()

2.7.2.3.2 拟牛顿方法: 进行着近似Hessian

BFGS: BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno算法) 改进了每一步对Hessian的近似。

状况糟糕的二元函数:

在准确的二元函数中, BFGS并不像牛顿法那么快,但是还是很快。

状况糟糕的非二元函数:

这种情况下BFGS比牛顿好, 因为它的曲度经验估计比Hessian给出的好。

状况糟糕的极端非二元函数:

In [9]:

def f(x):   # rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
def fprime(x):
    return np.array((-2*.5*(1 - x[0]) - 4*x[0]*(x[1] - x[0]**2), 2*(x[1] - x[0]**2)))
optimize.fmin_bfgs(f, [2, 2], fprime=fprime)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 16
         Function evaluations: 24
         Gradient evaluations: 24

Out[9]:

array([ 1.00000017,  1.00000026])

L-BFGS: 限制内存的BFGS介于BFGS和共轭梯度之间: 在非常高的维度 (> 250) 计算和翻转的Hessian矩阵的成本非常高。L-BFGS保留了低秩的版本。此外,scipy版本, scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b(), 包含箱边界:

In [8]:

def f(x):   # rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
def fprime(x):
    return np.array((-2*.5*(1 - x[0]) - 4*x[0]*(x[1] - x[0]**2), 2*(x[1] - x[0]**2)))
optimize.fmin_l_bfgs_b(f, [2, 2], fprime=fprime)

Out[8]:

(array([ 1.00000005,  1.00000009]),
 1.4417677473011859e-15,
 {'funcalls': 17,
  'grad': array([  1.02331202e-07,  -2.59299369e-08]),
  'nit': 16,
  'task': 'CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL',
  'warnflag': 0})

注意:如果你不为L-BFGS求解器制定梯度,你需要添加approx_grad=1

2.7.2.4 较少梯度方法

2.7.2.4.1 打靶法: Powell算法

接近梯度方法

状态糟糕的二元函数:

Powell法对低维局部糟糕状况并不很敏感

状况糟糕的极端非二元函数:

2.7.2.4.2 单纯形法: Nelder-Mead

Nelder-Mead算法是对高维空间的对立方法的归纳。这个算法通过改进单纯形来工作,高维空间间隔和三角形的归纳,包裹最小值。

长处: 对噪音很强壮,他不依赖于计算梯度。因此,它可以在局部光滑的函数上工作,比如实验数据点,只要他显示了一个大规模的钟形行为。但是,它在光滑、非噪音函数上比基于梯度的方法慢。

状况糟糕的非二元函数:

状况糟糕的极端非二元函数:

在scipy中, scipy.optimize.fmin() 实现了Nelder-Mead法:

In [11]:

def f(x):   # rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
optimize.fmin(f, [2, 2])
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 46
         Function evaluations: 91

Out[11]:

array([ 0.99998568,  0.99996682])

2.7.2.5 全局最优化算法

如果你的问题不允许惟一的局部最低点(很难测试除非是凸函数),如果你没有先前知识来让优化起点接近答案,你可能需要全局最优化算法。

2.7.2.5.1 暴力: 网格搜索

scipy.optimize.brute()在 函数网格内来评价函数,根据最小值返回参数。参数由numpy.mgrid给出的范围来指定。默认情况下,每个方向进行20步:

In [4]:

def f(x):   # rosenbrock函数
    return .5*(1 - x[0])**2 + (x[1] - x[0]**2)**2
optimize.brute(f, ((-1, 2), (-1, 2)))

Out[4]:

array([ 1.00001462,  1.00001547])

2.7.3 使用scipy优化的现实指南

2.7.3.1 选择一个方法

没有关于梯度的知识:

  • 一般来说,倾向于BFGS (scipy.optimize.fmin_bfgs()) 或 L-BFGS (), 即使你有大概的数值梯度
  • 在状况良好的问题上,Powell () 以及 Nelder-Mead (scipy.optimize.fmin()), 都是在高维上效果良好的梯度自有的方法,但是 ,他们无法支持状况糟糕的问题。

有关于梯度的知识:

  • BFGS (scipy.optimize.fmin_bfgs()) 或 L-BFGS (scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b())。
  • BFGS的计算开支要大于L-BFGS, 它自身也比共轭梯度法开销大。另一方面,BFGS通常比CG(共轭梯度法)需要更少函数评估。因此,共轭梯度法在优化计算量较少的函数时比BFGS更好。

带有Hessian:

如果有噪音测量:

使用Nelder-Mead (scipy.optimize.fmin()) 或者 Powell (scipy.optimize.fmin_powell())。

2.7.3.2 让优化器更快

  • 选择正确的方法 (见上面), 如果可以的话,计算梯度和Hessia。
  • 可能的时候使用preconditionning
  • 聪明的选择你的起点。例如,如果你正在运行许多相似的优化,那么在其他结果上软启动。
  • 如果你不需要准确,那么请放松并容忍

2.7.3.3 计算梯度

计算梯度甚至是Hessians的努力, 是枯燥的但是也是值得的。使用Sympy来进行象征计算将非常方便。

优化不能很好收敛的一个来源是计算梯度过程的人为错误。你可以用scipy.optimize.check_grad()来检查一下梯度是否正确。它返回给出的梯度与计算的梯度之间差异的基准:

In [9]:

optimize.check_grad(f, fprime, [2, 2])

Out[9]:

2.384185791015625e-07

也看一下scipy.optimize.approx_fprime()找一下你的错误。

2.7.3.4 合成练习

练习: 简单的 (?) 二次函数

用K[0]作为起始点优化下列函数:

In [2]:

np.random.seed(0)
K = np.random.normal(size=(100, 100))

def f(x):
    return np.sum((np.dot(K, x - 1))**2) + np.sum(x**2)**2

计时你的方法。找到最快的方法。为什么BFGS不好用了?

练习:局部扁平最小化

考虑一下函数$exp(-1/(.1*x^2 + y^2)$。这个函数在(0,0)存在一个最小值。从起点(1,1)开始,试着在$1e-8$达到这个最低点。

2.7.4 特殊案例: 非线性最小二乘

2.7.4.1 最小化向量函数的基准

最小二乘法,向量函数基准值的最小化,有特定的结构可以用在scipy.optimize.leastsq()中实现的Levenberg–Marquardt 算法

让我们试一下最小化下面向量函数的基准:

In [5]:

def f(x):
    return np.arctan(x) - np.arctan(np.linspace(0, 1, len(x)))
x0 = np.zeros(10)
optimize.leastsq(f, x0)

Out[5]:

(array([ 0\.        ,  0.11111111,  0.22222222,  0.33333333,  0.44444444,
         0.55555556,  0.66666667,  0.77777778,  0.88888889,  1\.        ]), 2)

这用了67次函数评估(用'full_output=1'试一下)。如果我们自己计算基准并且使用一个更好的通用优化器(BFGS)会怎么样:

In [6]:

def g(x):
    return np.sum(f(x)**2)
optimize.fmin_bfgs(g, x0)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 11
         Function evaluations: 144
         Gradient evaluations: 12

Out[6]:

array([ -7.44987291e-09,   1.11112265e-01,   2.22219893e-01,
         3.33331914e-01,   4.44449794e-01,   5.55560493e-01,
         6.66672149e-01,   7.77779758e-01,   8.88882036e-01,
         1.00001026e+00])

BFGS需要更多的函数调用,并且给出了一个并不精确的结果。

注意只有当输出向量的维度非常大,比需要优化的函数还要大,leastsq与BFGS相类比才是有趣的。

如果函数是线性的,这是一个线性代数问题,应该用scipy.linalg.lstsq()解决。

2.7.4.2 曲线拟合

最小二乘问题通常出现在拟合数据的非线性拟合时。当我们自己构建优化问题时,scipy提供了这种目的的一个帮助函数: scipy.optimize.curve_fit():

In [7]:

def f(t, omega, phi):
    return np.cos(omega * t + phi)
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = f(x, 1.5, 1) + .1*np.random.normal(size=50)
optimize.curve_fit(f, x, y)

Out[7]:

(array([ 1.50600889,  0.98754323]), array([[ 0.00030286, -0.00045233],
        [-0.00045233,  0.00098838]]))

练习

用omega = 3来进行相同的练习。困难是什么?

2.7.5 有限制条件的优化

2.7.5.1 箱边界

箱边界是指限制优化的每个函数。注意一些最初不是写成箱边界的问题可以通过改变变量重写。

In [8]:

def f(x):
    return np.sqrt((x[0] - 3)**2 + (x[1] - 2)**2)
optimize.fmin_l_bfgs_b(f, np.array([0, 0]), approx_grad=1, bounds=((-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5)))

Out[8]:

(array([ 1.5,  1.5]),
 1.5811388300841898,
 {'funcalls': 12,
  'grad': array([-0.94868331, -0.31622778]),
  'nit': 2,
  'task': 'CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL',
  'warnflag': 0})

2.7.5.2 通用限制

相等和不相等限制特定函数: f(x) = 0 and g(x)< 0。

In [10]:

def f(x):
    return np.sqrt((x[0] - 3)**2 + (x[1] - 2)**2)

def constraint(x):
    return np.atleast_1d(1.5 - np.sum(np.abs(x)))

optimize.fmin_slsqp(f, np.array([0, 0]), ieqcons=[constraint, ])
Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
            Current function value: 2.47487373504
            Iterations: 5
            Function evaluations: 20
            Gradient evaluations: 5

Out[10]:

array([ 1.25004696,  0.24995304])

In [11]:

optimize.fmin_cobyla(f, np.array([0, 0]), cons=constraint)

Out[11]:

array([ 1.25009622,  0.24990378])

上面这个问题在统计中被称为Lasso#LASSO_method)问题, 有许多解决它的高效方法 (比如在scikit-learn中)。一般来说,当特定求解器存在时不需要使用通用求解器。

拉格朗日乘子法

如果你有足够的数学知识,许多限定优化问题可以被转化为非限定性优化问题,使用被称为拉格朗日乘子法的数学技巧。

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